Determina l'equazione della parabola Γ passante per O(0,0), per A(1,2) e avente pendeza 1 in A. Disegna Γ. Determina l'equazione dell'iperbole equilatera Γ' con un asintoto coincidente con l'asse y, passante per A e qui perpendicolare a Γ. Disegna Γ'. Calcola l'area della figura delimitata dalle due curve. Calcola anche il perimetro di tale figura facendo uso della calcolatrice grafico simbolica.
La forma dell'equazione della parabola è
y = a·x2+b·x+c
o meglio, poiché Γ passa per O:
y = a·x·(x – x0)
essendo x0 l'ascissa dell'altro punto intersezione, oltre a O, di Γ con l'asse x.
Il sistema
in cui la prima equazione rappresenta il passaggio di Γ per A mentre la seconda
esprime il fatto che la pendenza di Γ in A è 1, permette di ricavare i parametri a e x0.
Si ottiene facilmente a=–1 e x0=3 per cui
Γ: y= –x(x-3)
La forma dell'equazione dell'iperbole è
y = k/x + c
cioè quella di un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti traslata lungo l'asse y.
Essendo y' = –1/x2 la pendenza di Γ', il sistema
permette di ricavare i parametri k e c. Si ottiene facilmente k=1 e c=1 per cui
Γ': y= 1/x + 1
Gli altri punti intersezione oltre ad A si determinano risolvendo
l'equazione
–x2 + 3x = 1/x + 1
ovvero
x3 – 3x2 + x + 1 = 0
o meglio, sapendo che Γ e Γ' hanno in comune un
punto di ascissa 1, cioè sapendo che il polinomio è divisibile
per x –1:
(x2 – 2x – 1)·(x – 1) = 0
e perciò
x2 – 2x – 1 = 0
ci fornisce le ascisse degli altri due punti intersezione.
Si ricava
x1,2 = 1 ± Ö(2)
L'area della zona delimitata dalle due curve si ottiene dunque risolvendo l'integrale
che vale:
Il risultato è 1+Ö(2)/3-ln(1+Ö(2)) @ 0.59.
Il perimetro della zona delimitata dalle due curve si ottiene invece calcolando l'integrale
Con una calcolatrice grafico simbolica si ottiene circa 3.42.
pagina di Roberto Ricci
L.S. "A. Righi", Bologna.
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